Funciones: lineales y cuadráticas

Para empezar a ver y diferenciar los tipos de funciones hay que iniciar por saber qué es una función y sus características. 
Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (imagen) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) de la imagen.
Son graficadas en un eje cartesiano que posee 4 cuadrantes.
•Los números 1, 2, 3 y 4 son los números de los cuadrantes
•Dominio: es el conjunto de valores en la variable independiente (en eje X)
•Imagen: es el conjunto de valores en la variable dependiente (en eje Y)
•Ordenada al origen: es la intersección con eje Y.
•Raíz: intersección con eje X. Para sacar la raíz, la función se iguala a 0.
Ejemplo: y=a.x+b --->0=a.x+b
•Cuándo hay que ubicar un punto (a;b)
a= es X
b= es Y
Para ubicar el punto, te posicionas en el número de X y subís (si es positivo) o bajas (si es negativo) hasta el número de Y.
•Existen distintos tipos de funciones: 

FUNCIÓN LINEAL

•Su nombre se debe a que su gráfico es una línea recta.
•Tiene una pendiente (a) y una ordenada al origen (b).

•Si la pendiente es mayor a  0 la función es creciente. Ej: f(x)=2x-1
 Si la pendiente es menor a 0 la función es decreciente. Ej: f(x)= -2x+2
 Si la pendiente es igual a 0 la función es constante. Ej: f(x)=5
•Las rectas pueden ser:
Paralelas (las pendientes son iguales)
Ejemplo: f(x)=5x+2

               f(x)=5x-1            
Perpendiculares (las pendientes son opuestas e inversas)
Ejemplo: f(x)= -1/2 +6
               f(x)= 2/1 +4

•En esta entrada del blog se explican las gráficas:
 http://matematica5ulp.blogspot.com.ar/2017/08/grafica-y-tabulacion-para-funcion-lineal.html

Ejemplo:
•Hace cinco años , la población de una pequeña comunidad indígena era de 500 personas. Como consecuencia de su integración con otras comunidades, la población ascendió a 4000 personas. Suponiendo que la población crece de forma lineal:
a- Expresen mediante una formula la cantidad de habitantes en función de tiempo.
b- Indiquen aproximadamente cuándo llegará a 10000 habitantes.

a- en el año 0 ---- 500 personas
                    1 ---- 1200

                    2 ---- 1900                                                          fórmula

                    3 ---- 2600          700 personas por año ------ f(x)= 700X+500

                    4 ---- 3300

                    5 ---- 4000

b- f(x)= 700X+500

    f(x)= 700 . 13,5 + 500         En 13.5 años llegan a los 9950 habitantes

    f(x)= 9950                

FUNCIÓN CUADRÁTICA
                            

•Su gráfica tiene forma de parábola.•Posee un término cuadrático (a.x^2) , un término lineal (b.x) y un termino independiente.(c)•Si "a" es mayor a cero las ramas de la parábola son hacia arriba. Ej: 5x^2-4x+2
 Si es menor a cero son hacia abajo. Ej: -2x^2+4x-1

•Para graficarla se puede realizar la tabulación, como en Función Lineal. O calculando sus elementos: raíces, vértice, ordenada al origen y eje de simetría.
•En esta otra entrada del blog se explica cómo se realiza una parábola calculando sus elementos:
http://matematica5ulp.blogspot.com.ar/2017/08/grafica-de-parabola-funcion-cuadratica.html

Grafica de parábola - función cuadrática

Para graficar una función cuadrática se debe dar una solución a los distintos elementos que posee la parábola.

•Raíces de la parábola: 

•Vértices: 

•Eje de simetría: 

•Ordenada al origen:

Con esas fórmulas podemos obtener distintos puntos, que luego se ubican en el cuadrante. Se une cada punto y se forma la parábola. 

Cuando "b" tiene un signo menos adelante (-b) significa que es opuesto, es decir, si en "b" tenemos un 4 quedaría -4, y viceversa.

Este es un ejemplo hecho por mi en un trabajo:

Gráfica y tabulación para función lineal

•Para graficar una función lineal se realiza una tabla de valores y luego con el resultado se grafica en un eje cartesiano.
•En esa tabla se le otorgan valores a X, para luego ser remplazados en la función y darle un valor a Y. Con esos dos valores, se ubican los puntos y se unen los puntos.
•Adjunto este video donde se explica de una manera sencilla y rápida las tabulaciones y gráficas.
Link: https://www.youtube.com/watch?v=dLNxF4SlxIw

Sucesión

•Es un conjunto de números dónde cada número es un TÉRMINO.
•Término general: las sucesiones se define como una función cuyo dominio son los números naturales y cuya imágen son los números reales.

•El término general se escribe como "an°". Ej: a1 / a2 / a3 / etc.

Sucesiones aritméticas

•La diferencia entre un termino y el que sigue siempre es constante, a medida que van siguiendo los términos, se van sumando o restando una constante (llamada razón).

•Fórmula del término general: 

•Fórmula de suma de los primeros "n" términos:

•r = razón

 a1 = primer término
 n = número de término

EJEMPLO: en el siguiente ejercicio se trabajan las sucesiones

-Dado un cuadrado de lado 1, se sigue el siguiente procedimiento:
•Se unen los puntos medios de sus lados determinando un cuadrado en su interior.
•Se repite el paso en el segundo cuadrado y así sucesivamente.
•Completa sabiendo que "an" representa el área del cuadrado del paso "n"
a1= 1   a2=1/2   a3= ....  an= ....
•¿A partir de qué "n" el área es menor que 1/32?

Resolución:
1- Para entender mejor siempre lo ideal es graficar y así poder guiarse.
2- Luego hay que descubrir la formula para la incógnita: "an". Para eso sabemos que al cuadrado más grande se le dibuja otro dentro marcando las esquinas del cuadrado más chico en el medio de cada lado del cuadrado grande. También nos dice que el cuadrado a1 mide 1cm y el cuadrado a2 mide 1/2 cm.
En conclusión el cuadrado interno siempre mide la mitad del anterior, entonces la formula nos queda: An= 1/2 n-1
3- Empezamos con la sucesión a1= 1
                                                  a2= 1/2
                                                  a3= 1/4
                                                  a4= 1/8
                                                  a5= 1/16
                                                  a6=1/32
4- Y así podemos obtener nuestra respuesta, si se pide un número más grande se reemplaza en la formula.